명동 스터디_이산수학_1(수의 표현과 연산)

명동 스터디 : 기초를 숙련한지 너무 오래되어 컴퓨터공학부 커리큘럼의 필수 과목과 관련된 공부를 통해 기초를 숙련하고 숙련된 기초를 통해 프로젝트 진행을 하기 위한 4명의 스터디 모임

 

기원 : ki-w0n.tistory.com

백범 : https://long-shift-6b9.notion.site/dbf9ea3ec9fd49379e43c127e470123a

찬형 : https://memo.chanhyung.kim/407d7b36c9204fb3813a42eac8674897

병묵 : https://manso98.notion.site/23723aa1c0bb44828b52fc57efa6639e

 

명동 스터디 첫번째 커리큘럼 일정(2024.07.29 ~2024.11.16)

- 컴퓨터 과학 기초(07.09 ~ 07.21)
- 이산수학(07.29 ~ 08.17)

- 자료 구조(08.19 ~ 09.07)

- 컴퓨터 구조(09.09 ~ 10.12)

- DB(10.07 ~ 10.26)
- 네트워크(10.28 ~ 11.16)

 

목차

 

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이산수학이란?

 

이산수학은 연속적(continuous)이 아닌 불연속(discrete) 객체를 다루는 수학의 한 분야입니다.

 

디지털 컴퓨터에서 다루는 데이터는 0과 1로 이뤄져있습니다.

이러한 디지털 컴퓨터가 데이터를 처리하는 과정에서 필요한 수학적인 개념과 원리를 말하기도 합니다.

 

이산수학과 연속수학은 모두 집합을 다루지만 이산수학에서는 자연수 하나만 구분되는 집합, 연속수학에서는 실수와 같은 연속적인 집합을 다루는 점이 다릅니다.

 

컴퓨터 사용자는 작업 수행 요청하고 컴퓨터는 데이터 수집 및 처리하여 결과 제공합니다.

이러한 디지털 과정을 이해하기 위해 이산수학이 필요합니다.

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수의 체계

 

 

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수의 연산

연산의 성질

수를 연산하는 결과는 수의 체계와 연산자의 종류에 따라 결정

닫힘 성질

수 체계 S에 속하는 어떤 수 a와 b를 연산자 O로 연산한 결과가 S에 속하면 '수 체계  S는 연산자 O에 닫혀 있다.(closed)'라고 하고,

그렇지 않으면 '수 체계 S는 연산자 O에 닫혀 있지 않다.'

수 체계별 사칙연산 닫힘 성질

	덧셈	뺄셈	곱셉	나눗셈
자연수	O	X	O	X
정수	O	O	O	X
유리수	O	O	O	O
무리수	X	X	X	X
실수	O	O	O	O
복소수	O	O	O	O

 

합연산

수열의합 시그마는 수열 {an}의 첫째 항부터 n번째 항까지의 항의 합 a1 + a2 + a3 ... +an을

로표현 합니다.

 

Σ의 성질

덧셈과 뺄셈은 분리가 가능하며 상수는 앞으로 뺄 수 있습니다.

C가 n개 있다 -> C*n

 

곱연산

일정한 규칙이 있는 수열의 곱

 

팩토리얼

n∈N일 때 1부터 n까지 1씩 증가하는 수열의 곱

 

 

나누기연산

몫을 구하는 연산 : div

나머지를 구하는 연산 : mod

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n진법

일반적으로 10진법을 사용하며 컴퓨터는 2진법과 16진법, 암호학에서는 26진수 등을 사용합니다.

 

진법 전환

53은 정수부이므로 2로 나눈 나머지를 이용해 2진수 110111을 구할 수 있습니다.

마찬가지로 16진수 역시  16으로 나눈 나머지를 이용하여 진법 전환 가능합니다.

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컴퓨터에서의 수의 표현과 연산

보수

보수(complement)는 보충해주는 수를 의미하는 것으로, 어떤 수 a에 대한 n의 보수는 a와 합이 n이 되는 수를 말합니다.

컴퓨터에서 뺄셈은 매우 어려운 회로 입니다. 그렇기 때문에 덧셈을 통해 뺄셈을 합니다.

4 - 3 = 1을 계산하려면

4 + 7(3의보수) = (1)1 -> 10의 자리수 1을 뺀 후 1이 되는 방식 입니다.

 

ex) 173의 10의 보수는

       1000

-       173

ㅡㅡㅡㅡㅡㅡ

         827

입니다.

 

이를 증명해본다면

200 - 173 = 27

200 + 827 = (10)27 => 27

 

ex2) 173의 9의 보수는 각 자리수를 9로 빼주면 됩니다.

9-1      9-7      9-3

  8          2         6

 

마찬가지로 이를 증명해본다면

200 - 173 = 27

200 + 826 = (10)26 => 1 + 26 =27

 

2의보수

1001(2) -> 0110(2) + 1(2) =0111(2)

 

1100(2) - 1110(2) -> 1100(2) + 0010(2) = 1110(2)  -> 0001(2) + 1(2) = -0010(2) = -2

     12     -     14     =      -2

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참고 문헌

1. 박주미.2021.한빛아카데미 <컴퓨팅 사고를 키우는 이산수학>